Kozák András a Szabolcs-Szatmár-Bereg megyei Vencsellőn (ma Gávavencsellő) látta meg a napvilágot egy hétgyermekes családban. A Tisza menti tanyavilágban nőtt fel, ahonnan tartást, szorgalmat, őszinteséget, becsületet és tisztaságot vitt magával. Nyíregyházán látott először színházi előadást, ami teljesen megbabonázta, a gimnáziumi színjátszókörnek is tagja volt. Felvételi kérelmét késve adta be a színművészeti főiskolára, ezért érettségi után egy évig otthon dolgozott. A következő évben azonnal felvették, mert látták, hogy igazi őstehetség, Bán Frigyes, a felvételi bizottság elnöke állítólag azt mondta: "végre megtaláltuk a második Soós Imrét".

A Színház- és Filmművészeti Főiskolát 1965-ben fejezte be, ezután egy évadot a szolnoki Szigligeti Színházban játszott, majd 1966-tól 1991-ig, negyedszázadon át a Thália, illetve az Arizona Színház művésze volt. Pályája gyorsan felívelt és sokáig volt a csúcson, Kazimir Károly rendezéseiben sorra játszotta a meghatározó szerepeket, vezető színészként nem egy olyan esztendő akadt, amikor több mint 250 este lépett színpadra.

1990 után kevesebbet lehetett hallani róla, ragaszkodó, hűséges természete miatt nagy törésként élte meg a Thália Színház Kazimir által meghatározott korszakának lezárultát. Ezután egy évig ismét Szolnokon szerepelt, majd 1992-ben a Nemzeti Színházhoz szerződött. Amikor a Nemzetit 2001-ben Magyar Színházzá nevezték át, keserűségében inkább otthagyta a teátrumot és a székesfehérvári Vörösmarty Színház tagja, művészeti vezetője lett. Itt nemcsak színészként, hanem rendezőként is dolgozott, ő állította színre egyebek között Harsányi Zsolt A bolond Ásvayné című művét, Jókaitól A kőszívű ember fiait, Csehov Sirályát és Kálmán Imre Csárdáskirálynő című operettjét. Két év után innen is csalódottan távozott és lemondott a művészeti vezetőségről, utolsó időszakában az átalakult Vidám Színpadon Shakespeare-szerepeket játszott.

Pályafutása során százhúsznál több színházi bemutatón szerepelt. Kiemelkedő alakítást nyújtott Marióként Thomas Mann Mario és a varázsló, tanítóként Bródy Sándor A tanítónő, Mesterként Bulgakov Mester és Margarita című darabjában. Meghatározó szerepe volt Kopjáss István Móricz Zsigmond Rokonok, Claudius Shakespeare Hamlet címűdarabjában, Lőrinc barát a Rómeó és Júliában, a fejedelem Vörösmarty Csongor és Tündéjében, Albert herceg A hattyú című Molnár Ferenc-darabban.

A kamera elé először az 1961-ben forgatott Pesti háztetőkben állt, még főiskolásként ott volt Gaál István 1963-as drámája, a Sodrásban szereplői között. Jancsó Miklós egyik állandó színészeként a rendező tíz filmjében kapott főszerepet, köztük volt az Így jöttem, a Szegénylegények, a Csillagosok, katonák, a Csend és kiáltás vagy a Fényes szelek. Tévéjátékokban is sokszor feltűnt markáns egyénisége, közreműködött olyan sorozatokban, mint a Linda, A falu jegyzője vagy az 1994 és 2001 között forgatott Kisváros.

A már súlyos beteg színész hatvankettedik születésnapját csak néhány órával élte túl, 2005. február 24-én hunyt el Budapesten. Sírja, amelyet a Nemzeti Emlékhely és Kegyeleti Bizottság 2017-ben védetté nyilvánított, a Farkasréti temetőben található. Drahota Andrea színésznő negyven esztendőn át volt hű társa a magánéletben és a szakmában is, gyakran léptek együtt színpadra, hatvannál több közös bemutatójuk volt.

"Boldog vagyok, és hálát adok az Istennek, hogy olyan korban dolgozhattam és lettem színész, amikor nagyon jó volt a magyar színház, és akkor voltam filmszínész, amikor európai hírű volt a magyar filmgyártás" – Kozák András így foglalta össze pályáját hatvanadik születésnapja alkalmából a rádiónak adott interjúban.